[mixi] 三角関数は何故重要か▶▲

(1)地球上では重力による等加速度運動

(2)宇宙空間では無重力で等速直線運動

これと並んで、
(3)地球が太陽を回る回転運動(等角加速度運動)

というのが、まぁ宇宙とか地球での自然界で
もっとも基本的な運動です。
で、(3)を真横の無限遠から見ると

(3')振り子の往復
のように見えて、これを時間的にロール紙に
等速で記録すれば、それがサインなりコサイン
なり、というわけで、振動というのはそこから
説明したらいいのでは、と思います。

・・・という説明だと、文系デザインの僕の
学生もけっこう納得してくれます。

2007年05月24日
07:55

suchi

3Dのものを2Dの画面に表示するとき必須、というのはどうでしょう。

2007年05月24日
08:13

なるほど回転とか座標変換には必須ですね。行列計算とか一次変換とか知らないと難しいかもしれませんが。

2007年05月24日
08:15

コンピューター上で
３Ｄ空間に図形を書くことをすると、
嫌でも必要になりますよね。

2007年05月24日
08:36

reservoir

コンピュータ以外だと、物理がどっぷり三角関数使う、というのが中高校生にとっては身近なテーマでしょうか

2007年05月24日
08:45

ひろのぶ

円との関係を示して、森羅万象、円が絡めば必ず関係する神様が仕組んだ技、と僕なら説明する。

2007年05月24日
08:56

とにかく必要なことは確かだから，お子さんが何に興味を持っているかで，説明のしかたは変わると思う．
登山とか地図が好きだったら山の高さの説明でも説得力あるんじゃないですか？

2007年05月24日
09:16

> ひろのぶさん
どんな「円が絡む場面」があるかの説明が必要ですね。そんなに色々有りますかね?

> びすけっとさん
山の高さの計算と三角関数の関係がわからないのですが... こういう計算するだけなら三角関数なんか要らない気がします。

2007年05月24日
09:29

Mike

＞山の高さの計算と三角関数の関係

水平距離と角度から高さを出すのに、三角関数必要ですよね？

2007年05月24日
10:19

> 三角関数必要

表だけあれば良くて、三角関数演算は必要無いと思うのですが。

2007年05月24日
10:40

siio

全ての粒子は波動で(も)あることを説明し，全宇宙のあらゆる物質の振る舞いを記述する際に必須の手段であることを述べる．．．ってのはどうかな．

2007年05月24日
10:47

数値表とか電卓の関数値計算ならたいして重要性は
ないと思います。
山の高さなら相似と数表だけでいいのです。

関数だから意義があるのでは。
サインとコサインなんて並行移動しているだけ
(位相の差だけ)とも言えますが、直交座標と
極座標とを行き来するには、2乗の和が1、
という関係が重要になります。

さらに物理の場合には、運動方程式まで使う
段階になったら、サインを微分したらコサインに
なり、さらに微分したら符号が反転しただけ
でサインに戻る・・・というのがもっとも重要で、
単振動の加速度と周期運動の角速度を関係づける、
となって面白いところなので、「関数」でこそ、
意義があると思います。

2007年05月24日
10:47

三角関数演算って，加法定理とかですか？
値を求めるという意味ならば，表をひくことが関数の値を計算していることだし．その表はどうやって作られたかだったら，級数展開の話をしなきゃならないし．

僕は複素関数まで行ってやっと一周した気がしました．
だから指数関数も同時に教える．

2007年05月24日
10:51

表は神様が与えてくれたのではなくて，級数展開して計算したんですよ．相似な模型で実測したってあれだけの有効数字はだせないでしょう．

2007年05月24日
11:05

ひろのぶ

円に絡む場面の説明というよりも、定義が円（単位円）そのものだから円を使って説明しない限り、本来の説明にはならない。

山の高さを計算とかいうけどそれも円との関係を理解していなければ、単純な公式の暗記になるよ。地平がある、その上に自分がいる、山の頂（イタダキ）があり、自分と山の頂までを半径とした円を描く。

円を用意する。一応、地面を用意する。その上を円がごろごろと動く。円周上にある、ある一点の軌跡を追う。はい、波でした。

歯車のように円と円が組み合わせっているのはフーリエ変換。

もともとが円だからってのもあるけど、裏には全部円が関係してくる。

2007年05月24日
11:27

> 地面を用意する。その上を円がごろごろと動く。
> 円周上にある、ある一点の軌跡を追う。はい、波でした。

これ何て言いましたっけ。なんとかロイド?
尖ってましたよね。(^_^;)

2007年05月24日
11:35

三角関数を教える意味は２つあると思います．

三角関数は面白いし便利だし役に立つよという話．

もう一つは，単なるマクロじゃなくて，ブラックボックスとしての関数という概念を教える．いままで知っている計算法だけで表そうとすると，すごく複雑な式が必要で．だけど，それに名前をつけて記号として扱うと便利だよという話．その一つの例として三角関数がある．この場合，三角関数の面白いとか役にたつ説明よりも，山の高さと角度の関係のように，直感的な関係があった方が説明しやすい．表があるのも都合がよい．

2007年05月24日
11:53

eurah

少なくとも中世以前の文明で、たとえばピラミッドもナスカの地上絵も三角関数は使われてないですよね。
むしろ近代以降の目に見えない事象を解き明かす想像力のために、三角関数は使われてる気がします。
測量には確かに三角関数は便利だけど、それはサンスケや計算尺みたいなツールに過ぎないし、そんなものなくてもピラミッドもマチュピチュも建ってるし。

僕が感動したのは、こんなに複雑な宇宙とか物理現象が、こんなに単純な双対（sinとcos）で表現できてるってわかったこと。
人生においてはDNAが4種類の塩基だけでできてるってことの次にびっくりさせられたことでした。

でも数IIIで三角関数公式の丸暗記を求められた時には嫌になりましたけど。(T_T)
少なくとも「遠くの山の高さを計算するのに使うんだ」みたいな計算には加法定理要らないですよねえ。

2007年05月24日
12:32

Archaic

こんなに良い先生がいる中高時代を送りたかったなぁ。どの話にしても楽しそうだもの。
すみません、お邪魔しました。

2007年05月24日
13:08

くま

順キネマティクスで、ロボットやキャラクタの腕を何度回転すると目標に届く、というのは？
逆キネマティクスは中高生には難しいけど。。。

2007年05月24日
14:17

ひろのぶ

今のようなきちんとした形にしたのは（一般角に対するって意味）はオイラーだけど、円と弦との関係は古代ギリシャからだよ。

2007年05月24日
14:25

くるとん

裏付け取らずに書いてしまいますが、
三角関数は数学者が考えた精度無限の公式で、
その応用は科学者が使いこなしたものではないかと。

　私は工学系なのでこの「精度無限」を説明に使います。
山の高さを三角表と内挿で計ると微小な誤差が残る。
そこで三角関数があると必要な所まで精度が出せる。

　観測点がほんの少し移動しただけで検出できると
噴火や地震のより早い予測につながる。
…という説明はどうでしょうか。

2007年05月24日
14:40

春夫

こんな親御さんばかりだと先生はやりにくいだろうなあ・・・

2007年05月24日
17:12

しおざわ

＞「遠くの山の高さを計算するのに使うんだ」
（歴史的な）「三角比」の説明としてはいいんじゃないでしょうか。
三角比は表があれば十分だというのも、まあその通りで。

＞定義が円（単位円）そのものだから
そして「三角比」を拡張した「三角関数」（18世紀オイラー）には、
単位円や関数という概念が必要だと。

2007年05月24日
17:14

i16(愛一郎)@iPodなの

三角関数を使わないとゲームがリアルな感じにならないのだ。

2007年05月24日
18:03

ぜん

遠くの山を三角比で求めるのはいいが、
「どうやって山の底面の水平距離を実測するんだ！？ｗ
まっすぐトンネルでも掘るのか？」
というするどい突っ込みのある本を読んだことがあります。

2007年05月24日
19:12

剃る兵衛はっぴー

三角関係は何故重要か、と読んでしまった。増井さんもやるな、と。

2007年05月24日
19:44

Mike

びすけっとさんの話にかぶるけど、

　オイラーの公式

　　　cosθ + i sinθ = e^(iθ)

って、どうでしょう？
　これ以上美しい数式って、そうないと思います。
ここには、三角関数がしっかり出てきます。

2007年05月24日
22:09

超電磁からあげ

ファミコン世代としては
キャラクタの動きによく使われていたので
やはり重要です!

2007年05月25日
01:38

三角関数的動きってどんなんなんでしょ?

2007年05月25日
02:52

メンタルスタッフ

先生以外の大人たちが、「三角関数は○○や××で本当に役に立って面白いんだ。」と自信を持って子供たちに伝えるだけでも、見慣れないsinθやcosθを初めて学ぶ子供たちは元気が出るんじゃないかと思いますね。学習への動機付けは社会的に支えられて成立する部分が大きいですからね。

ただ、三角関数の学習は断片的な暗記的な学習になりがちという現実は確かにありますね。その断片さえも胡散霧消して、ほとんど何も残っていない場合が多いですが。

そうなる理由は一つではないんでしょうが、もともとある程度まとまった体系を教えなくてはならないところを、ちょっとづつ教えようとするので、学習内容の意味や関連性が掴みにくくなっているのかもしれません。大変かもしれませんが、三角関数の学習は、始めからきちんと座標系の回転と関連づけて教えるなど体系として教えたほうが断片的な暗記物の学習にならなくて、却って効率よく学べるという可能性もあるんじゃないでしょうかね。

たいていのことは一度に学べませんから、少しづつ部分に分けて学んでいくことになるんでしょうが、ばらばらにし過ぎて学びにくくなっている場合が結構多いのではないかと思います。

2007年05月25日
09:58

eurah

ゲームでは最近は当たり前のように浮動少数演算で三角関数でという感じなのかも知れないですが、8bit世代の僕が高校時代にゲーム作ってた時は高価な浮動少数演算ライブラリが変えなかったので、全部整数演算とDDAでやってたから三角関数は使ってないですねえ。
だからピンと来ない。まあでもDDAと言っても元は三角関数で書かれた式だったんでしょうけど。

2007年05月25日
11:07

超電磁からあげ

三角関数的な動きというと、やはり普通にサインカーブそのままや
円運動でしょうか。
直線的じゃない、やわらかい動きとしては作るのが楽ちんなので。

当時はもちろん(今でもそれなりに)表引きです。

あと atan になっちゃいますが向きを求めたりですとか。
敵が自機を狙う方向ベクトルやそれに応じたキャラ番号などですね。

ゲームによっては、これが例えば 8 パターンしかなかったりしたため
命中精度が低かったりもしました。
# またそれが攻略パターン構築に使えたりしたのですがw

2007年05月25日
12:41

itojun

長沼伸一郎「物理数学の直観的方法」(だったかな)を与えましょう。

2007年05月25日
13:28

三角関数の直観的理解って書いてありましたっけ?

2007年05月25日
14:07

しおざわ

この話、ちょっと考えてみたんですが、何かを教えるときに体系的な概念や現実の応用も、ちゃんと最初から時間をかけて説明するようにしたら、そういう興味を持つ子供と興味を持たない子供で、かなり二極化するような気がします。ここにいる方々はほぼ全員前者だと思いますが。

最初から興味がない生徒には、座標平面や単位円を持ち出して何も頭に残らないより、「山の高さを計算する」程度の話でも頭に残っていればいいのかもしれません…。結局、子供の学力レベルや日ごろの興味（と教える側の実力）も勘案して、個別指導しないと無理ということになるんでしょうが。

2007年05月25日
14:22

Rダニール@BGM

アナログシンセで
サイン波・ノコギリ波・三角波を鳴らして、
カットオフ値をツマミで動かさせて
「耳で覚えるサイン波の特徴」
てのはどうでしょう。

とかいいつつ、建築強度計算に数学は欠かせなくて、
第一歩が三角測量ですんで、これも大事ですよ。
「遠くの山」だとアレなんで
「家を建てるとき、ビルを建てるとき」のほうがいいと思いますが。

学生にトラバース測量をやらせてみませう。実地が一番!
（そのあとに純粋数学すると　また楽しい）

2007年05月25日
15:03

> アナログシンセで
> サイン波・ノコギリ波・三角波を鳴らして、
> カットオフ値をツマミで動かさせて
> 「耳で覚えるサイン波の特徴」

・・・惜しい。矩形波が抜けてます。(^_^;)

実際、やってます。(^_^)

2007年05月25日
15:58

itojun

三角関数の真実を理解するにはexp(-j x theta)を理解しなければなりません。

2007年05月25日
16:45