同じ箇所を２回押すと２回反転してもとに戻るので、
ある箇所を押す回数は０回か１回です。

１行目の各列を押す回数を適当に設定して、
例えば、順に 1,1,0,0,0 回ずつ押したとすると

　ＡＢＣＤＥ
１黄黄青黄黄

のようになるはずです。次に２行目の押し方を考えると、
１Ａを青にするためには、必ず２Ａを押す必要があります。
２Ｂも同様。２Ｃは押さなくていい。・・・という感じで、
次の行以降は全て一意に決まるはずです。

ですから、最初の行のパターン：2^5 = 32 通りを
力ずくで検索すると良いと思います。